Question

（2013•德州一模）如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB=

3

：2，CP：BP=1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②△EBP∽△EFB；③△ABP∽△ECP；④AO•AP=OB²．其中正确的序号是

①②③

．（把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

分析：设AD=

3

x，AB=2x，根据矩形的性质得出AD=BC=

3

x，AB=CD=x，∠D=∠C=∠ABC=90°，DC∥AB，求出DE=CE=x，CP=

3

3

x，BP=

2 3

3

x，根据tan∠CEP=

PC

EC

，tan∠EBC=

CE

CB

，求出∠CEP=30°，∠EBC=30°，∠CEB=60°，即可判断①；证出∠F=∠EBP和∠PEB=∠PEB，即可推出△EBP∽△EFB，判断②即可；证△ECP∽△FBP和△ABP≌△FBP，即可判断③，证出△AOB∽△BOP，得出

OB

OP

=

OA

OB

，推出OB²=AO•OP，即可判断④．

解答：解：设AD=

3

x，AB=2x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=

3

x，AB=CD=x，∠D=∠C=∠ABC=90°，DC∥AB，
∵E为CD中点，
∴DE=CE=x，
∵CP：BP=1：2，
∴CP=

3

3

x，BP=

2 3

3

x，
∵tan∠CEP=

PC

EC

=

3 3 x

x

=

3

3

，tan∠EBC=

CE

CB

=

x

3 x

=

3

3

，
∴∠CEP=30°，∠EBC=30°，
∵∠C=90°，
∴∠CEB=60°，
∴∠BEP=30°=∠CEP，
即EP平分∠CEB，∴①正确；
∵DC∥AB，
∴∠CEP=∠F=30°，
∵∠EBP=30°，
∴∠F=∠EBP，
∵∠PEB=∠PEB，
∴△EBP∽△EFB，∴②正确；
∵DC∥AB，
∴△ECP∽△FBP，
∴

EC

BF

=

CP

BP

=

1

2

，
∴EC=

1

2

BF，
∵E为CD中点，
AB=CD，
∴EC=

1

2

CD=

1

2

AB，
∴AB=BF，
在△ABP和△FBP中

AB=BF ∠ABP=∠FBP=90° BP=BP

，
∴△ABP≌△FBP，
∵△ECP∽△FBP，
∴△ABP∽△ECP，∴③正确；
∵△ABP≌△FBP，
∴∠PAB=∠F=∠CEP=30°，
∵∠ABC=90°，
∴∠APB=60°，
∵∠EBC=30°，
∴∠AOB=30°+60°=90°=∠POB，
∵∠PAB=∠PBO=30°，
∴△AOB∽△BOP，
∴

OB

OP

=

OA

OB

，
∴OB²=AO•OP，∴AO•AP=OB²不对，∴④错误；
故答案为：①②③．

点评：本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，难度偏大，综合性比较强．