如图1.△ABC和△A′B′C′是两个全等的等腰直角三角形.且∠C=∠C′=90°.$AC=BC=2\sqrt{2}$.其中D.E分别为△ABC中AC.BC的中点.现将两三角形如图所示放置.A点与B′重合.且A.A′.B.B′在同一条直线上.现将△A′B′C′沿射线AB方向向右匀速运动.速度为1cm/s.直到E点落在B′C′上停止运动．(1)试写出在运动过程中△A′B′C′与四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．如图1，△ABC和△A′B′C′是两个全等的等腰直角三角形，且∠C=∠C′=90°，$AC=BC=2\sqrt{2}$，其中D、E分别为△ABC中AC，BC的中点，现将两三角形如图所示放置，A点与B′重合，且A，A′，B，B′在同一条直线上，现将△A′B′C′沿射线AB方向向右匀速运动，速度为1cm/s，直到E点落在B′C′上停止运动．
（1）试写出在运动过程中△A′B′C′与四边形DABE重叠部分的面积S与时间t的函数关系式；
（2）如图2，若O为△ABC内角平分线的交点，在（1）的运动中当△A′B′C′平移到C′与C重合时，让△ABC保持不动将△A′B′C′绕点O顺时针方向旋转，在旋转过程中，直线A′B′与直线AC相交于点K，则是否存在这样的点K使得△ABK为等腰三角形？若存在，试求出△ABK的面积；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的前提下，当将△A′B′C′绕点O顺时针方向旋转45°时，如图，试求出△ABC和△A′B′C′重叠部分的面积是多少？

分析（1）分两种情形①如图1中，当0＜t≤2时，重叠部分是△AB′G．如图2中，当2＜t≤4时，重叠部分是等腰梯形ADGB′．分别计算即可．
（2）存在．分两种情形讨论即可①如图3中，当BA=BK时，△ABK是等腰直角三角形，②如图4中，当AK=AB时，△ABK是等腰三角形．
（3）如图5中，连接O、AO、CO，延长CO交AB于K．根据△ABC和△A′B′C′重叠部分的面积=S_△ABC-S_△AEI-S_△CFP-S_△GHB计算即可．

解答解：（1）如图1中，当0＜t≤2时，重叠部分是△AB′G．

S=$\frac{1}{2}$•AG•GB′=$\frac{1}{2}$•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）²=$\frac{1}{4}$t²．
如图2中，当2＜t≤4时，重叠部分是等腰梯形ADGB′．

S=$\frac{1}{2}$[t+（t-$\sqrt{2}$）•1=t-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

（2）存在．①如图3中，当BA=BK时，△ABK是等腰直角三角形，此时S=$\frac{1}{2}$×AB×BK=$\frac{1}{2}$×4×4=8．

②如图4中，当AK=AB时，△ABK是等腰三角形，S=$\frac{1}{2}$AK•BC=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$．

（3）如图5中，连接O、AO、CO，延长CO交AB于K．

∵$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$（AC+BC+AB）•OK，
∴OK=OM=KH=$\frac{2\sqrt{2}×2\sqrt{2}}{4+4\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$-2，
∵当将△A′B′C′绕点O顺时针方向旋转45°时，
∴∠AIE=45°，
由题意EO平分∠CEI，
∴∠CEO=∠CAB=45°，
∴EO∥AB，
∴∠EAO=∠OAB=∠EOA，
∴EA=EO=CO，设AE=EO=CO=a，
则a+$\sqrt{2}$a=2$\sqrt{2}$，
∴a=4-2$\sqrt{2}$，
∴CM=6-4$\sqrt{2}$，BH=2-（2$\sqrt{2}$-2）=4-2$\sqrt{2}$，
∴△ABC和△A′B′C′重叠部分的面积=S_△ABC-S_△AEI-S_△CFP-S_△GHB
=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{2}$•2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$•（4$\sqrt{2}$-4）×（2$\sqrt{2}$-2）-$\frac{1}{2}$•（12-8$\sqrt{2}$）（6-4$\sqrt{2}$）-$\frac{1}{2}$•（4-2$\sqrt{2}$）²
=64$\sqrt{2}$-88．