Question

3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，CE是高，且AC²=3BC²．求证：CD、CE三等分∠ACB．

Answer 1

分析 直接利用AC，BC直接的关系得出∠A的度数，进而利用直角三角形的性质结合等边三角形的性质求出∠ACD=∠DCE=∠BCE=30°，即可得出答案．

解答 证明：∵AC²=3BC²，
∴AC=$\sqrt{3}$BC，
∴tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠A=30°，则∠B=60°，
∵∠ACB=90°，CD是中线，
∴AD=DC=BC，
∴∠CDB=∠B=∠DCB=60°，
∵CE是高，
∴∠DCE=∠BCE=30°，
∴∠ACD=∠DCE=∠BCE=30°，
∴CD、CE三等分∠ACB．

点评 此题主要考查了锐角三角函数关系以及直角三角形的性质，正确得出∠A的度数是解题关键．