Question

如图（1），由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形得到S△ABC=

1

2

bcsinA…①
即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半
如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=α，∠DCB=β
∵S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD，由公式①得到

1

2

AC•BC•sin(α+β)=

1

2

AC•CD•sinα+

1

2

BC•CD•sinβ
即AC•BC•sin（α+β）=AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ…②
你能利用直角三角形关系及等式基本性质，消去②中的AC、BC、CD吗？若不能，说明理由；若能，写出解决过程．并利用结论求出sin75°的值．

Answer 1

分析：将等式的两边同时除以AC和BC，然后将cosβ=

CD

BC

、cosα=

CD

AC

代入，整理即可消去②中的AC、BC、CD，分别令α=30°，β=45°代入消去后的式子可得出sin75°的值．

解答：解：①能消去②中的AC、BC、CD．
将AC•BC•sin（α+β）=AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ，两边同除以AC•BC得：
sin（α+β）=

CD

BC

•sinα+

CD

AC

•sinβ③，
又∵cosβ=

CD

BC

、cosα=

CD

AC

，
代入③可得：sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ．
②由sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ得：sin75°=sin（30°+45°）=sin30°•cos45°+cos30°•sin45°
=

1

2

×

2

2

+

3

2

×

2

2

=

2 + 6

4

．

点评：本题考查了解直角三角形的知识，题目比较长，突破口在于熟练掌握直角三角形中三角函数的表示形式，例如题中的cosβ=

CD

BC

、cosα=

CD

AC

，另外在解答这样阅读型题目时，一定要有耐心，仔细分析题意，切忌看见比较长的题目就无从下手．