Question

已知：如图，在△CDE中，∠DCE=90°，CD=CE，直线AB经过点C，且点D、E在直线AB的同侧，在直线AB上点C的左、右两侧分别取点A、B，使得∠DAC=∠EBC=∠DCE．
（1）求证：AB=AD+BE；
（2）如果将问题中的条件“∠DCE=90°”改为“∠DCE=β”，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？为什么？请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且CD=CE，利用AAS得到三角形ACD与三角形BCE全等，利用全等三角形的对应边相等得到AD=BC，AC=BE，由AB=AC+CB，等量代换即可得证；
（2）将问题中的条件“∠DCE=90°”改为“∠DCE=β”，其他条件不变，（1）中的结论还成立，理由为：根据∠ADC+∠ACD=β，∠ACD+∠BCE=β，等量代换得到∠ADC=∠BCE，再由∠DAC=∠CBE=β，CD=CE，利用AAS得到三角形ACD与三角形BCE全等，利用全等三角形的对应边相等得到AD=BC，AC=BE，由AB=AC+CB，等量代换即可得证．

解答：（1）证明：∵∠DAC=∠EBC=∠DCE=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠ADC=∠BCE，
在△ADC和△CBE中，

∠ADC=∠BCE ∠DAC=∠EBC DC=EC

，
∴△ADC≌△CBE（AAS），
∴AD=BC，AC=BE，
∴AB=AC+CB=AD+BE；
（2）将问题中的条件“∠DCE=90°”改为“∠DCE=β”，其他条件不变，（1）中的结论还成立，理由为：
证明：∵∠DAC=∠EBC=∠DCE=β，
∴∠ADC+∠ACD=β，∠ACD+∠BCE=β，
∴∠ADC=∠BCE，
在△ADC和△CBE中，

∠ADC=∠BCE ∠DAC=∠EBC DC=EC

，
∴△ADC≌△CBE（AAS），
∴AD=BC，AC=BE，
∴AB=AC+CB=AD+BE．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．