Question

已知在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（2，1），P（2，4），点Q是y轴上的一动点，连接PQ，作QR⊥PQ交x轴于点R，当△PQR∽△OAB时，求点R的坐标．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：根据A、B、P的坐标得出OA=2OB，△AOB是直角三角形，根据△PQR∽△OAB时，QR⊥PQ且QR=2PQ或PQ=2QR，设Q（0，m），R（n，0），分3种情况①当PQ⊥y轴时，得出PQ₁=2，Q₁R₁=4，Q₁R₁=2PQ₁，符合题意；②当PQ₂⊥Q₂R₂，PQ₂=2Q₂R₂时，可证△PQ₂G∽△Q₂OR₂；根据

OR

GQ

=

OQ

PG

=

QR

PQ

=

1

2

，得出

|n|

4-|m|

=

|m|

2

=

1

2

，
求出m、n的值即可，③当PQ₄⊥Q₄R₄，Q₄R₄=2PR₄时，可证△PQ₄G∽△Q₄OR₄，根据

OQ4

PG

=

OR4

GQ4

=

Q4R4

PQ4

=2，得出

-m

2

=

-n

4-m

=2，再求出m、n的值即可．

解答：解：∵A（2，0），B（2，1），P（2，4），
∴OA=2OB，△AOB是直角三角形，
当△PQR∽△OAB时，QR⊥PQ且QR=2PQ或PQ=2QR，
如图所示，设Q（0，m），R（n，0），
①当PQ⊥y轴时，Q₁（0，4），R₁（0，0）
PQ₁=2，Q₁R₁=4，
则Q₁R₁=2PQ₁，符合题意；
②当PQ₂⊥Q₂R₂，PQ₂=2Q₂R₂时，可证△PQ₂G∽△Q₂OR₂；
PG=2，OR=|n|，OQ=|m|，GQ=OG-OQ=4-|m|，
则

OR

GQ

=

OQ

PG

=

QR

PQ

=

1

2

，
即

|n|

4-|m|

=

|m|

2

=

1

2

，
解得：

m1=1 n1= 3 2

，

m2=-1 n2=- 5 2

，
∴Q₂（0，1），R₂（

3

2

，0），Q₃（0，-1），R₃（-

5

2

，0）；
③当PQ₄⊥Q₄R₄，Q₄R₄=2PR₄时，可证△PQ₄G∽△Q₄OR₄，
PG=2，OR₄=-n，OQ₄=-m，GQ₄=4-m，
则

OQ4

PG

=

OR4

GQ4

=

Q4R4

PQ4

=2，
即

-m

2

=

-n

4-m

=2，
解得；m=-4，n=-16，
∴Q₄（0，-4），R₄（-16，0）；
综上所述，当△PQR∽△OAB时，点R的坐标为：R₁（0，0），R₂（

3

2

，0），R₃（-

5

2

，0），R₄（-16，0）．

点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、解方程组、点的坐标等，关键是根据题意画出图形，注意分三种情况讨论．