Question

如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（-4，0），B点坐标为（1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式；
（2）设M为（1）中抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论；
（3）在第二象限中是否存在的一点Q，使得以A，O，Q为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，请求出所有满足的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据相交弦定理推论可得出OC²=OA•OB，即可求出C点坐标．然后用待定系数法求解即可．
（2）直线与圆的位置关系无非是相切或不相切，可连接PC，证PC是否与MC垂直即可．（本题可先求出直线MC与x轴的交点N的坐标，然后分别求出PN，PC，CN的长，用勾股定理进行判断）．
（3）分△OBC与△AOQ相似，△OBC与△AQO相似，△OBC与△QAO相似，△OBC与△QOA相似，四种情况讨论求解．

解答：解：（1）连接PC，
∵A（-4，0），B（1，0）
∴AB=5，
∵P是AB的中点，且是⊙P的圆心
∴PC=PA=2.5，OP=4-2.5=1.5．
∴OC=PC²-OP²=2
∴C（0，-2）．
设经过A、B、C三点的抛物线为y=a（x-1）（x+4），
∴-2=a（0-1）（0+4）
∴a=

1

2

．
∴抛物线为y=

1

2

（x-1）（x+4）．

（2）直线MC与⊙P相切．
将y=

1

2

x²+

3

2

x-2配方，得y=

1

2

（x+

3

2

）²-

25

8

，
∴顶点M为（-

3

2

，-

25

8

）．
设直线MC为y=kx+b，则有

-2=b - 25 8 =- 3 2 k+b

，
解得

k= 3 4 b=-2

．
∴直线MC为y=

3

4

x-2．
设MC与x轴交于点N，
在y=

3

4

x-2中，令y=0，得x=

8

3

．
∴ON=

8

3

，PN=

8

3

+

3

2

=

25

6

，CN=

ON2+OC2

( 8 3 )2+22

=

10

3

．
∴CN²+PC²=PN²．
∴∠PCN=90度．
∴MC与⊙P相切．

（3）△OBC与△AOQ相似，OB：OC=AO：AQ，即1：2=4：AQ，解得AQ=8，则Q点坐标为（-4，8）；
△OBC与△AQO相似，OB：OC=AQ：AO，即1：2=AQ：4，解得AQ=2，则Q点坐标为（-4，2）；
△OBC与△QAO相似，OC：BC=QO：AO，即2：

5

=QO：4，解得QO=

8 5

5

，则Q点横坐标为-

8 5

5

×

2 5

5

=-

16

5

，纵坐标为

8 5

5

×

5

5

=

8

5

，则Q点坐标为(-

16

5

，

8

5

)；
△OBC与△QOA相似，OB：BC=QO：AO，即1：

5

=QO：4，解得QO=

4 5

5

，则Q点横坐标为-

4 5

5

×

5

5

=-

4

5

，纵坐标为

4 5

5

×

2 5

5

=

8

5

，则Q点坐标为(-

4

5

，

8

5

)．
综上所述，使得以A，O，Q为顶点的三角形与△OBC相似，所有满足的Q点坐标为（-4，8）；（-4，2）；(-

16

5

，

8

5

)；(-

4

5

，

8

5

)．

点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程组，二次函数的最值，切线的判定、相似三角形的判定和性质等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．