Question

9．如图，正方形ABCD内有两点E、F满足AE=4，EF=FC=12，AE⊥EF，CF⊥EF，则正方形ABCD的边长为10$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接AC，交EF于点M，可证明△AEM∽△CMF，根据条件可求得AE、EM、FM、CF，再结合勾股定理可求得AB．

解答 解：连接AC，交EF于点M，
∵AE丄EF，EF丄FC，
∴∠E=∠F=90°，
∵∠AME=∠CMF，
∴△AEM∽△CFM，
∴$\frac{AE}{CF}$=$\frac{EM}{FM}$，
∵AE=4，EF=FC=12，
∴$\frac{EM}{FM}$=$\frac{1}{3}$，
∴EM=3，FM=9，
在Rt△AEM中，AM²=AE²+EM²=16+9=25，解得AM=5，
在Rt△FCM中，CM²=CF²+FM²=144+81=225，解得CM=15，
∴AC=AM+CM=20，
在Rt△ABC中，AB=BC，AB²+BC²=AC²=400，
∴AB=10$\sqrt{2}$，即正方形的边长为10$\sqrt{2}$．
故答案为：10$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质及正方形的性质，构造三角形相似利用相似三角形的对应边成比例求得AC的长是解题的关键，注意勾股定理的应用．