Question

已知：如图，C是线段BD上一点，△ABC和△ECD都是等边三角形，R、F、G、H分别是四边形ABDE各边的中点，求证：四边形RFGH是菱形．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：证明题

分析：连接AD与B C，首先证得△BCE≌△ACD，即可得到AD=BE，然后利用三角形的中位线定理证得四边形RFGH的对边平行且相等，并且邻边相等，从而证得四边形RFGH是菱形．

解答：证明：连接AD、BE；
∵△ABC和△ECD是等边三角形，
∴BC=AC，EC=BA，∠AED=∠BEC=60°；
∴∠AEC=∠DEB=120°；
在△BCE与△ACD中，

AC=BC ∠BCE=∠ACD EC=DC

，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
∴AD=BE；
∵H、R是AE、AB的中点，
∴HR是△ABE的中位线，即HR=

1

2

BE，
同理可证得：RF=

1

2

AD，FG=

1

2

BE，HG=

1

2

AD，
∴HR=RF=FG=GH，
∴四边形RFGH是菱形．

点评：此题主要考查的是中点四边形，能发现并构建出全等三角形，是解答本题的关键．