Question

4．点P与点Q位于线段MN的两侧，
（1）如图甲，若△PMN和△QMN中，PI平分外角∠SPN，并与线段MN的延长线交于点I，连接QI，若△PMN≌△QMN，求证：QI平分外角∠TQN；
（2）如图乙，若△PMN和△QMN中，PM+PN=QM+QN，且外角∠SPN和∠TQN的角平分线PI、QI相交于点I，连接MI，求证：MI平分∠PMQ．

Answer 1

分析 （1）首先证明△MIP≌△MIQ，得到∠MPI=∠MQI，推出∠IPS=∠IQT，由∠IPN=∠IQN，∠IPN=∠IPS，即可证明．
（2）先证明△PIE≌△PIN，同理可证△QIN≌△QIF，创造条件证明△MIE≌△MIF即可．

解答 证明：（1）如图甲中，

∵△PMN≌△QMN，
∴PM=QM，∠PMN=∠QMN，∠MPN=∠MQN，
∴∠SPN=∠TQN，
在△PMI和△QMI中，
$\left\{\begin{array}{l}{PM=QM}\\{∠PMI=∠QMI}\\{MI=MI}\end{array}\right.$，
∴△PMI≌△QMI，
∴∠MPI=∠MQI，
∴∠IPN=∠IQN，
∵∠IPS=∠IPN，
∴∠IPS=∠IQT=∠IQN，
∴IQ平分∠TQN．

（2）如图乙中，在PS上截取PE=PN，在QT上JQ NQ=QF，连接EI、IN、IT．

在△PIE和△PIN中，
$\left\{\begin{array}{l}{PI=PI}\\{∠IPE=∠IPN}\\{PE=PN}\end{array}\right.$，
∴△PIE≌△PIN，同理可证△QIN≌△QIF，
∴IE=IN=IT，
∵PM+PN=QM+QN，
∴PM+PE=MQ+QF即ME=MF，
在△MIE和△MIF中，
$\left\{\begin{array}{l}{MI=MI}\\{ME=MF}\\{IE=IF}\end{array}\right.$，
∴△MIE≌△MIF，
∴∠IME=∠IMF，
∴MI平分∠PMQ．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线、三角形外角等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．