Question

7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AC=BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．

（1）如图1，若CE=CF，求证：DE=DF；
（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中：
①探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；
②若CE=4，CF=2，求DN的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，于是得到∠DCE=∠DCF=135°，根据全等三角形的性质即可的结论；
（2）①证得△CDF∽△CED，根据相似三角形的性质得到$\frac{CD}{CE}=\frac{CF}{CD}$，即CD²=CE•CF，根据等腰直角三角形的性质得到CD=$\frac{1}{2}$AB，于是得到AB²=4CE•CF；②如图，过D作DG⊥BC于G，于是得到∠DGN=∠ECN=90°，CG=DG，当CE=4，CF=2时，求得CD=2$\sqrt{2}$，推出△CEN∽△GDN，根据相似三角形的性质得到$\frac{CN}{GN}=\frac{CE}{DG}$=2，根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，
∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，
∴∠DCE=∠DCF=135°，
在△DCE与△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠DCE=∠DCF}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△DCF，
∴DE=DF；
（2）解：①∵∠DCF=∠DCE=135°，
∴∠CDF+∠F=180°-135°=45°，
∵∠CDF+∠CDE=45°，
∴∠F=∠CDE，
∴△CDF∽△CED，
∴$\frac{CD}{CE}=\frac{CF}{CD}$，
即CD²=CE•CF，
∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB²=4CE•CF；
②如图，过D作DG⊥BC于G，
则∠DGN=∠ECN=90°，CG=DG，
当CE=4，CF=2时，
由CD²=CE•CF得CD=2$\sqrt{2}$，
∴在Rt△DCG中，CG=DG=CD•sin∠DCG=2$\sqrt{2}$×sin45°=2，
∵∠ECN=∠DGN，∠ENC=∠DNG，
∴△CEN∽△GDN，
∴$\frac{CN}{GN}=\frac{CE}{DG}$=2，
∴GN=$\frac{1}{3}$CG=$\frac{2}{3}$，
∴DN=$\sqrt{G{N}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{2}{3}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．