Question

1．在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．

（1）依题意补全图1；图2；
（2）若∠PAB=25°，求∠ADF的度数；
（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）过B作AP的垂线段，并延长至E，使B、E到AP的垂线段相等，得出B的对称点E，连接BE、DE即可；
（2）连接AE，由轴对称的性质得出∠PAB=∠PAE=25°，AE=AB=AD，得出∠AED=∠ADF，求出∠EAD=140°，即可求出∠ADF的度数；
（3）连接AE、BF、BD，由轴对称的性质得出EF=BF，AE=AB=AD，得出∠ABF=∠AEF=∠ADF，求出∠BFD=∠BAD=90°，根据勾股定理得出BF²+FD²=BD²，即可得出结论．

解答 解：（1）如图1、图2所示：
（2）连接AE，如图3所示：
则∠PAB=∠PAE=25°，
AE=AB=AD，
∴∠AED=∠ADF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAD=90°+25°+25°=140°，
∴∠ADF=$\frac{1}{2}$（180°-∠EAD）=20°；
（3）连接AE、BF、BD，如图4所示：
则EF=BF，AE=AB=AD，
∴∠ABF=∠AEF=∠ADF，
∴∠BFD=∠BAD=90°，
∴BF²+FD²=BD²，
∴EF²+FD²=AB²+AD²=2AB²，
即EF²+FD²=2AB²．

点评 本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正方形和轴对称的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．