Question

已知：开口向下的抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于M、N两点（点N在M的右侧），并且M、N两点的横坐标分别是方程x²-2x-3=0的两根，点K是抛物线与y轴的交点，∠MKN不小于90°．
（1）求点M和N的坐标．
（2）求系数a的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）可根据先求出方程x²-2x-3=0的两根，然后根据M，N的左右位置来确定它们的坐标．
（2）可先用交点式设出抛物线的解析式，由于抛物线过M，N，因此可将抛物线设为y=a（x²-2x-3），求∠MKN不小于90°时a的取值范围，那么可先求出∠MKN=90°时，a的值．当∠MKN=90°时，可根据射影定理求出OK的长，也就求出了a的值，进而可得出a的取值范围．（要注意的是抛物线开口向下的条件，即a＜0）．

解答：解：（1）由题意：x²-2x-3=0，x=3，x=-1．
由于N在点M的左侧，因此M，N的坐标分别是M（-1，0），N（3，0）；

（2）抛物线与x轴交于M（-1，0），N（3，0）两点，则y=a（x²-2x-3），
抛物线开口向下，则a＜0，令x=0，y=-3a＞0，K（0，-3a）．
当∠MKN=90°时，
∵∠MKN=∠MKO+∠NKO=90°，∠KON=∠NKO+∠KNO=90°，
∴∠MKO=∠KNO，
∵∠MOK=∠KON=90°，
∴△MOK∽△KON，
∴MO：KO=KO：ON，即

1

-3a

=

-3a

3

，
∴a²=

1

3

，a=-

3

3

．
由于∠MKN不小于90°，因此a的取值范围是-

3

3

≤a＜0．

点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的综合应用，（2）中求出∠MKN=90°时a的取值是解题的关键．