Question

7．为宣传2022年北京-张家口冬季奥运会，小王在网上销售一种成本为20元/件的本届冬季奥运会宣传文化衫，销售过程中的其他各种费用（不再含文化衫成本）总计50（百元），有关销售量y（百件）与销售价格x（元/件）的相关信息如下：

销售量y（百件）	y=-0.1x+8	y=$\frac{120}{x}$
销售价格x（元/件）	30≤x≤60	60＜x≤80

（1）求销售这种文化衫的纯利润w（百元）与销售价格x（元/件）的函数关系式；
（2）销售价格定为多少元/件时，获得的利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）根据x的范围分类讨论，由“总利润=单件利润×销售量”可得函数解析式；
（2）结合（1）中两个函数解析式，分别依据二次函数的性质和反比例函数的性质求其最值即可．

解答 解：（1）当30≤x≤60时，w=（x-20）（-0.1x+8）-50=-0.1x²+10x-210；
当60＜x≤80时，w=（x-20）•$\frac{120}{x}$-50=-$\frac{2400}{x}$+70；

（2）当30≤x≤60时，w=-0.1x²+10x-210=-0.1（x-50）²+40，
∴当x=50时，w取得最大值40（百元）；
当60＜x≤80时，w=-$\frac{2400}{x}$+70，
∵-2400＜0，
∴w随x的增大而增大，当x=80时，w_最大=40（百元），
答：销售价格定为50元/件或80元/件时，获得的利润最大，最大利润是40百元．

点评 本题主要考查二次函数和反比例函数的应用，理解题意依据相等关系列出函数解析式，并熟练掌握二次函数和反比例函数的性质是解题的关键．