Question

如图，点P是∠AOB内部的一定点．
（1）若∠AOB=50°，作点P关于OA的对称点P₁，作点P关于OB的对称点P₂，连结OP₁、OP₂，则∠P₁OP₂=

 

°；
（2）若∠AOB=α，点C、D分别在射线OA、OB上移动，当△PCD的周长最小时，则∠CPD=

 

度（用含α的代数式表示）．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,轴对称的性质

专题：

分析：（1）连接OP，根据轴对称的性质可得∠AOP=∠AOP₁，∠BOP=∠BOP₂，然后求出∠P₁OP₂=2∠AOB，再代入数据进行计算即可得解；
（2）根据轴对称的性质可得∠OP₁C=∠OPC，∠OP₂D=∠OPD，然后求出∠CPD=∠OP₁C+∠OP₂D，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．

解答：解：（1）连接OP，∵点P关于OA的对称点P₁，点P关于OB的对称点P₂，
∴∠AOP=∠AOP₁，∠BOP=∠BOP₂，
∴∠P₁OP₂=∠AOP₁+∠AOP+∠BOP+∠BOP₂=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB，
∵∠AOB=50°，
∴∠P₁OP₂=2×50°=100°；
（2）∵∠AOB=α，
∴∠P₁OP₂=2α，
由轴对称的性质得，∠OP₁C=∠OPC，∠OP₂D=∠OPD，
∵∠CPD=∠OPC+∠OPD，
∴∠CPD=∠OP₁C+∠OP₂D，
在△OP₁P₂中，∠OP₁C+∠OP₂D=180°-∠P₁OP₂=180°-2α．
故答案为：100；180°-2α．

点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．