Question

9．如图，点D在双曲线上，AD垂直x轴，垂足为A，点C在AD上，CB平行于x轴交双曲线于点B，直线AB与y轴交于点F，已知AC：AD=1：3，点C的坐标为（3，2）．
（1）求该双曲线的解析式；
（2）求△OFA的面积．

Answer 1

分析 （1）由点C的坐标为（3，2）得AC=2，而AC：AD=1：3，得到AD=6，则D点坐标为（3，6），然后利用待定系数法确定双曲线的解析式；
（2）已知A（3，0）和B（9，2），利用待定系数法确定直线AB的解析式，得到F点的坐标，然后利用三角形的面积公式计算即可

解答 解：（1）∵点C的坐标为（3，2），AD垂直x轴，
∴AC=2，
又∵AC：AD=1：3，
∴AD=6，
∴D点坐标为（3，6），
设双曲线的解析式为$y=\frac{k}{x}$
把D（2，6）代入y=$y=\frac{k}{x}$得，k=3×6=18，
所以双曲线解析式为$y=\frac{18}{x}$；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵CB平行于x轴交曲线于点B，
∵双曲线的解析式为$y=\frac{18}{x}$，
∴B（9，2）
把A（3，0）和B（9，2）代入y=kx+b得，3k+b=0，9k+b=2，解得$k=\frac{1}{3}$，b=-1，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-1，
令x=0，得y=-1，
∴F点的坐标为（0，-1），
∴S_△OFA=$\frac{1}{2}$×OA×OF=$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了利用待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式的方法：把求解析式的问题转化为解方程或方程组．也考查了坐标与线段之间的关系以及三角形面积公式．