题目内容
8．
如图，在平面直角坐标系中，A（8，6），C（0，-10），AC=CO，直线AC交x轴于点M，将△AOC沿直线AC翻折，使得点O落在点B处，连接AB交x轴于D，动点P从点O出发，以2个单位长度/秒的速度沿射线OA运动；同时动点Q从A出发以每秒1个单位的速度沿射线AB运动．（1）求B点的坐标；
（2）连接PB，设点P的运动时间为t秒，△PAB的面积为S，求S与t的关系式，并直接写t的取值范围；
（3）在点P、Q运动过程中，当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？并直接写出Q点坐标．
分析 （1）根据翻折的性质，可得OA=AB，OC=BC，根据菱形的判定与性质，可得xB+xO=xA+xC，yB+yO=yA+yC；
（2）根据勾股定理，可得OB，AC的长，根据菱形的面积，可得BE的长，根据三角形的面积公式，可得函数关系式；
根据OP与OA的关系，可得自变量的取值范围；
（3）根据线段的和差，可得AP，根据等腰三角形的定义，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案．
解答 解：（1）由△AOC沿直线AC翻折，使得点O落在点B处，得
OA=AB，OC=BC．
由AC=CO=10，得
AO=CO=CB=BA=10．
四边形AOCB是菱形，
xB+xO=xA+xC，即xB=8，
yB+yO=yA+yC，即yB=6-10=-4，
即B点坐标（8，-4）；
（2）如图作BE⊥OA于E
，
由勾股定理，得
OB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{{8}^{2}+（6+10）^{2}}$=8$\sqrt{5}$，
由菱形的面积，得
OA•BE=AC•OB，
即BE=4$\sqrt{5}$×8$\sqrt{5}$÷10=16，
OP=2t，AP=10-2t，
S△ABP=$\frac{1}{2}$AP•BE=$\frac{1}{2}$（10-2t）×16=-16t+80，
S与t的关系式为s=-16t+80，
由OP≤AO，即2t≤10，解得t≤5，
由时间是非负数，得t≥0，
自变量的取值范围是0≤t≤5；
（3）由OP=2t，得AP=OA-OP=10-2t．
AQ=t．
由AP=AQ，得
10-2t=t．
解得t=$\frac{10}{3}$，
当t=$\frac{10}{3}$时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形；
由AB∥y轴，得
Q点的横坐标为8，纵坐标为6-$\frac{10}{3}$=$\frac{8}{3}$，
即Q点的坐标为（8，$\frac{8}{3}$）．
点评 本题考查了一次函数综合题，（1）利用了菱形的判定与性质，菱形AOCB对角顶点的坐标：xB+xO=xA+xC，yB+yO=yA+yC；（2）利用菱形的面积公式得出BE的长是解题关键；（3）利用等腰三角形的定义得出关于t的方程是解题关键．
阅读快车系列答案
如图，小明在A点用测倾仪测得旗杆顶端E的仰角为69°，测倾仪的高度CA为1.55m，点A到旗杆底部B的距离为11.7m．求旗杆BE的高度（精确到1m）| A． | $\frac{1}{1-a}$ | B． | $\frac{1}{a-1}$ | C． | -$\frac{2a-1}{a-1}$ | D． | $\frac{-2{a}^{2}-1}{a-1}$ |
如图，河堤横断面迎水坡AB的破壁是$1：\sqrt{3}$，堤高BC=12cm，则坡面AB的长度是（ ）| A． | 15cm | B． | $20\sqrt{3}$cm | C． | 24cm | D． | $10\sqrt{3}$cm |
如图：
如图，点A坐标为（-2，3），将点A绕原点O顺时针旋转90°得点A′，求A′的坐标．
已知：如图，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D．
如图的方格纸中，△ABC的顶点坐标分别为A（-2，5），B（-4，1）和C （-1，3）．