Question

4．如图，已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．
（1）求证：OP=OQ=OR．
（2）求BP、CQ、AR的长．
（3）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质得到OP=OR，OR=OQ，证明结论；
（2）根据内心的性质列出方程组，解方程组即可；
（3）证明△ROF≌△QOE，得到答案．

解答 （1）证明：∵OB平分∠ABC，OP⊥BC，OR⊥AB，
∴OP=OR，
同理，OR=OQ，
∴OP=OQ=OR；
（2）解：∵∠A、∠B的角平分线交于点O，
∴O是△ABC的内心，
∴BR=BP=x，AR=AQ=y，CQ=CP=z，
则$\left\{\begin{array}{l}{x+y=7}\\{x+z=8}\\{y+z=9}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\\{z=5}\end{array}\right.$
∴BP=3、CQ=5、AR=4；
（3）由（1）得OR=OQ，
∵O是△ABC的内心，∠A=60゜，
∴∠ROD=∠FOE=120°，
∴∠ROF=∠QOE，
∴△ROF≌△QOE，
∴OE=OF．

点评 本题考查的是角平分线的性质和全等三角形的判定以及内心的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．