Question

5．在?ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC．
（1）求证：△BFO≌△DEO；
（2）若EF平分∠AEC，试判断四边形AFCE的形状，并证明．

Answer 1

分析 根据平行四边形的性质和平行线性质得出OA=OC，∠OAE=∠OCF，证△AOE≌△COF，推出OE=OF，即可得出四边形是矩形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AD∥BC，AD=BC，
∴∠OBF=∠ODE，
在△BFO和△DEO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OBF=∠ODE}&{\;}\\{OB=OD}&{\;}\\{∠BOF=∠DOE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BFO≌△DEO（ASA）；
（2）解：四边形AFCE是正方形；理由如下：
∵△BFO≌△DEO，
∴BF=DE，
∴CF=AE，
∵AD∥BC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AF⊥BC，
∴∠AFC=90°，
∴四边形AFCE是矩形，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF=∠CEF，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
∴四边形AFCE是正方形．

点评 本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线性质的应用，主要考查学生的推理能力．