Question

19．已知抛物线G₁：y=a（x-h）²+2的对称轴为x=-1，且经过原点．
（1）求抛物线G₁的表达式；
（2）将抛物线G₁先沿x轴翻折，再向左平移1个单位后，与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，求A点的坐标；
（3）记抛物线在点A，C之间的部分为图象G₂（包含A，C两点），如果直线m：y=kx-2与图象G₂只有一个公共点，请结合函数图象，求直线m与抛物线G₂的对称轴交点的纵坐标t的值或范围．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法求得即可；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求得；
（3）求出直线y=kx-2的解析式，再结合图象和点的坐标即可得出答案．

解答 解：（1）∵抛物线G₁：y=a（x-h）²+2的对称轴为x=-1，
∴y=a（x+1）²+2，
∵抛物线y=a（x+1）²+2经过原点，
∴a（0+1）²+2=0．
解得 a=-2，
∴抛物线G₁的表达式为y=-2（x+1）²+2=-2x²-4x；
（2）由题意得，抛物线G₂的表达式为y=2（x+1+1）²-2=2x²+8x+6．
∴当y=0时，x=-1或-3．
∴A（-3，0）；
（3）由题意得，直线m：y=kx-2交y轴于点D（0，-2），
由抛物线G₂的解析式y=2x²+8x+6，得到顶点E（-2，-2），
当直线y=kx-2过E（-2，-2）时与图象G₂只有一个公共点，此时t=-2，
当直线y=kx-2过A（-3，0）时
把x=-3代入y=kx-2，k=$-\frac{2}{3}$，
∴$y=-\frac{2}{3}x-2$，
把x=-2代入$y=-\frac{2}{3}x-2$，
∴y=$-\frac{2}{3}$，即t=$-\frac{2}{3}$，
∴结合图象可知t=-2或$t＞-\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式、抛物线与x轴的交点坐标、关于x轴对称的点的坐标特征等知识；熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式是解决问题的关键．