Question

13．如图，过△ABC的顶点A分别作对边BC上的高线AD和中线AE，交BC于点D，E，规定λ_A=$\frac{DE}{BE}$，当点D与点E重合时，规定λ_A=0，另外对λ_B，λ_C作类似的规定．

（1）如图2，已知在Rt△ABC中，∠A=30°，求 λ_A，λ_C；
（2）判断下列三个命题的真假（真命题打“√”，假命题打“×”）：
①若△ABC中λ_A＜1，则△ABC为锐角三角形；×
②若△ABC中λ_A=1，则△ABC为直角三角形；√
③若△ABC中λ_A＞1，则△ABC为钝角三角形．√．
（2）如图3，在每个小正方形边长都为1的4×4的方格纸上，画一个△ABC，使其顶点在格点（即每个小正方形的顶点）上，且λ_A=2，面积也为2．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边中线、高的特点进行转换即可得出答案；
（2）根据真假命题的定义即可得出答案；
（3）根据题目要求即可画出图象．

解答 解：（1）如图，作BC边上的中线AD，又AC⊥DC，
∴λ_A=$\frac{CD}{BD}$=1，
过点C分别作AB边上的高CE和中线CF，
∵∠ACB=90°，
∴AF=CF，
∴∠ACF=∠CAF=30°，
∴∠CFE=60°，
∴λ_C=$\frac{EF}{AF}$=$\frac{EF}{CF}$=cos60°=$\frac{1}{2}$；

（2）①在第（1）题中，λ_C=$\frac{1}{2}$，而△ABC是直角三角形，故命题错误；
②λ_A=1时，过顶点A的高线的垂足与三角形的顶点一定重合，故三角新一定是直角三角形，故命题正确；
③λ_A＞1时，过顶点A的高线的垂足与三角形的顶点一定在边的延长线上，则三角形一定是钝角三角形，故命题正确．
故答案为：①×，②√，③√．

（3）如图：

点评 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线、高的性质以及特殊角的三角函数值，同时考查了画图，真假命题的判断，比较复杂，难度较大．