如图.抛物线y=x2-2x-3与x轴交A.B两点.直线l与抛物线交于A.C两点.其中C点的横坐标为2．(1)求A.B两点的坐标及直线AC的函数表达式,(2)P是线段AC上的一个动点..过P点作y轴的平行线交抛物线于E点.求线段PE长度的最大值.并直接写出△ACE面积的最大值,(3)点G为抛物线上的动点.在x轴上是否存在点F.使A.C.F.G这样的四个点为顶点的四边形� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，（不与A、C重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值，并直接写出△ACE面积的最大值；
（3）点G为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

分析（1）令y=0得到关于x的方程，解方程可求得点A和点B的横坐标，将x=2代入抛物线的解析式求得对应的y值可求得点C的纵坐标，设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A和点C的坐标代入求得k和b的值即可；
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（x，x²-2x-3），然后得到PE与x的函数关系式，利用二次函数的性质可求得PE的最大值，最后依据S_△ACE=$\frac{1}{2}$×PE×（x_C-x_A）求解即可；
（3）设点F的坐标为（a，0），点G的坐标为（x，y），依据中点坐标公式求得点G的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式求得对应的a的值即可．

解答解（1）当y=0时，解得x₁=-1或x₂=3，
∴A（-1，0）B（3，0）．
将C点的横坐标x=2代入y=x²-2x-3得y=-3，
∴C（2，-3）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A和点C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=-1．
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1．
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（x，x²-2x-3）
∵P点在E点的上方，
∴PE=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$．
∴当x=$\frac{1}{2}$时，PE的最大值为$\frac{9}{4}$．
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$×PE×（x_C-x_A）=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×3=$\frac{27}{8}$．
（3）当AC为平行四边形的对角线时．设点F的坐标为（a，0），点G的坐标为（x，y）．
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴依据中点坐标公式可知：$\frac{0+y}{2}=\frac{-3+0}{2}$，$\frac{a+x}{2}=\frac{-1+2}{2}$．
∴y=-3，x=1-a．
∵点G在抛物线上，
∴-3=（1-a）²-2（1-a）-3，整理得：a²-1=0，解得a=-1或a=-1（舍去）．
∴点F的坐标为（1，0）．
当AC为平行四边形的边，CF为对角线时．设点F的坐标为（a，0），点G的坐标为（x，y）．
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴依据中点坐标公式可知：$\frac{a+2}{2}=\frac{-1+x}{2}$，$\frac{-3+0}{2}$=$\frac{0+y}{2}$．
∴y=-3，x=a+3
∵点G在抛物线上，
∴-3=（a+3）²-2（a+3）-3，整理得：a²+4a+3=0，将a=-3或a=-1（舍去）
∴点F的坐标为（-3，0）．
当AC为平行四边形的边，CG为对角线时．设点F的坐标为（a，0），点G的坐标为（x，y）．
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴依据中点坐标公式可知：$\frac{-1+a}{2}=\frac{2+x}{2}$，$\frac{0+0}{2}$=$\frac{-3+y}{2}$．
∴y=3，x=a-3
∵点G在抛物线上，
∴3=（a-3）²-2（a-3）-3，整理得：a²-8a+9=0，解得a=4+$\sqrt{7}$或a=4$-\sqrt{7}$．
∴点F的坐标为（4+$\sqrt{7}$，0）或（4-$\sqrt{7}$）．
综上所述，点F的坐标为（1，0）或（-3，0）或（4+$\sqrt{7}$，0）或（4-$\sqrt{7}$）．