Question

7．已知：如图1，菱形ABCD的边长为6，∠B=60°，点E从点C出发，沿折线CA-AD运动，速度为每秒1个单位长度，过E作EF∥CD，交BC于F，同时过E作EG⊥AC交直线BC于G，设运动时间为t，△EFC与△ABC重叠部分的面积为S，当点E运动到点D时停止运动．
（1）当点G在线段BC上，t=2秒时，BG=FC；
（2）请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围；
（3）如图2，将△ABC绕点C旋转至△A′B′C，线段A′C，B′C分别交线段AD，AB于M，N，请问△AMN的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用t表示出BG和CF，然后根据BG=FC即可列方程求解；
（2）分成0＜x≤6和6＜t≤12两种情况，即E在AC上和在AD上两种情况进行讨论，利用等腰三角形的面积公式和相似三角形的性质即可求解；
（3）证明△ACM≌△BCN，则AN+AM=AD，当AC⊥MN时，MN最短，求得MN即可求得三角形的周长．

解答 解：（1）设运动时间是t．
∵EF∥AB，
∴∠EFC=∠B=60°，
又∵∠ACB=60°，
∴△EFC是等边三角形．
∴CF=CE=t．
在直角△CEG中，CG=$\frac{EC}{cos∠ECG}$=2t．
则BG=BC-CG=6-2t．
根据题意得：t=6-2t，
解得：t=2．
故答案是：2；
（2）当0＜x≤6时，如图①，

S_△EFC=$\frac{\sqrt{3}{t}^{2}}{4}$，
则S=S_△EFC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²；
当6＜t≤12时，如图②．过M作MP⊥AD于点P，交BC于点N．

∵EF∥CD，AD∥BC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴CF=DE=12-t，AE=t-6．
∵AE∥BC，
∴△AME∽△CMF，
∴$\frac{PM}{MN}$=$\frac{AE}{CF}$=$\frac{t-6}{12-t}$，
又∵PN=MN+MP=AB•sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．
∴MN=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t+6$\sqrt{3}$，
则S=$\frac{1}{2}$CF•MN=$\frac{1}{2}$（12-t）（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t+6$\sqrt{3}$），
则S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²-6$\sqrt{3}$t+36$\sqrt{3}$；
（3）∵∠A'CB'=60°即∠NCA+∠ACM=60°，
又∵∠BNC+∠NCA=∠ACB=60°，
∴∠BCN=∠ACM，
在△ACM和△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAC=∠B}\\{AC=BC}\\{∠BCN=∠ACM}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△BCN（ASA），
∴BN=AM，
同理，AN=DM，
则AN+AM=AD=6．
当AC⊥MN时，MN最短．此时CN⊥AB，
则AN=$\frac{1}{2}$AB=3．
则MN=2AN•sin60°=2×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
则△AMN的周长的最小值是：6+3$\sqrt{3}$．

点评 本题是函数与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质的综合题，主要考查了分类讨论的思想，正确利用t表示出MN的长度是解决本题的关键．