Question

已知在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=12，AB=5，M为AC上一点，N为BC上一点，MN把三角形面积二等分，求MN的最小值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：由C为直角，在直角三角形ABC中，由边AC及AB的长，利用勾股定理求出BC的长，再根据两直角边乘积的一半求出三角形ABC的面积，同时根据锐角三角函数定义求出sinB及cosB的值，设线段BM的长度为x，线段BN的长度为y，由直线MN把三角形分为面积相等的两部分，可得三角形BMN的面积等于三角形ABC面积的一半，由x，y及sinB的值，利用三角形的面积公式列出关系式，求出xy的值，在三角形CMN中，由x，y及cosB的值，利用余弦定理得|MN|²=x²+y²-2xycosB，把cosB的值代入，利用基本不等式变形，再将xy的值代入，即可求出|MN|的最小值．

解答：解：∵∠A=90°，AC=12，AB=5，
∴根据勾股定理得：CB=13，
∴S_△ABC=

1

2

AC•AB=30，
∴sinB=

AC

CB

=

12

13

，sinC=

AB

BC

=

5

13

，
设CM=x，CN=y，
∵S_△CEF=

1

2

S_△ABC
∴

1

2

xysinC=

1

2

×

5

13

xy=15，
∴xy=78，
在△CMN中，CM=x，CN=y，cosC=

CA

CB

=

12

13

，
由余弦定理有：MN²=x²+y²-2xycosB=x²+y²-144≥2xy-144，
当且仅当x=y=取等号，
∴|MN|_min=2．

点评：本题主要考查解直角三角形，利用余弦定理列出关于MN的不等式是解题的关键．