Question

9．已知关于x的一元二次方程x²+2（k+1）x+k²+2=0，有两个实数根x₁，x₂．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若|x₁|+|x₂|=2$\sqrt{5}$，求k值．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个实数根结合根的判别式即可得出△=8k-4≥0，解之即可得出实数k的取值范围；
（2）由根与系数的关系即可得出x₁+x₂=-2（k+1）、x₁•x₂=k²+2，结合k的取值范围即可得出x₁＜0，x₂＜0，再根据|x₁|+|x₂|=2$\sqrt{5}$即可得出2（k+1）=2$\sqrt{5}$，解之即可求出k值．

解答 解：（1）∵方程x²+2（k+1）x+k²+2=0有两个实数根，
∴△=[2（k+1）]²-4（k²+2）=8k-4≥0，
∴k≥$\frac{1}{2}$．
（2）∵方程x²+2（k+1）x+k²+2=0有两个实数根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-2（k+1），x₁•x₂=k²+2．
∵k≥$\frac{1}{2}$，
∴x₁+x₂＜0，x₁•x₂＞0，
∴x₁＜0，x₂＜0．
∴|x₁|+|x₂|=2（k+1）=2$\sqrt{5}$，
∴k=$\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据方程有两个实数根找出△=8k-4≥0；（2）利用根与系数的关系结合|x₁|+|x₂|=2找出2（k+1）=2$\sqrt{5}$．