Question

10．如图，直线OA的解析式为y=3x，点 A的横坐标是-1，OB=$\sqrt{2}$，OB与x轴所夹锐角是45°．
（1）求B点坐标；
（2）求直线AB的函数表达式；
（3）若直线AB与y轴的交点为点D，求△AOD的面积；
（4）在直线AB上存在异于点A的另一点P，使得△ODP与△ODA的面积相等，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）过点B作BE⊥x轴于点E，则△BOE为等腰直角三角形，由此得出OE=BE、OB=$\sqrt{2}$OE，结合OB=$\sqrt{2}$即可得出OE=BE=1，再根据点B所在的象限即可得出点B的坐标；
（2）由点A的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点A的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的函数表达式；
（3）将x=0代入直线AB的函数表达式中即可求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出△AOD的面积；
（4）由△ODP与△ODA的面积相等可得知x_P=-x_A，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．

解答 解：（1）过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．
∵∠BOE=45°，BE⊥OE，
∴△BOE为等腰直角三角形，
∴OE=BE，OB=$\sqrt{2}$OE．
∵OB=$\sqrt{2}$，
∴OE=BE=1，
∴点B的坐标为（1，-1）．
（2）当x=-1时，y=-3，
∴点A的坐标为（-1，-3）．
设直线AB的表达式为y=kx+b（k≠0），
将（-1，-3）、（1，-1）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=-3}\\{k+b=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的函数表达式为y=x-2．
（3）当x=0时，y=-2，
∴点D的坐标为（0，-2），
∴S_△AOD=$\frac{1}{2}$OD•|x_A|=$\frac{1}{2}$×2×1=1．
（4）∵△ODP与△ODA的面积相等，
∴x_P=-x_A=1，
当x=1时，y=1-2=-1，
∴点P的坐标为（1，-1）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．