Question

如图，已知：在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P是对角线BD上的一个动点，作PF⊥BD于P，交边BC于点F（点F与B、C都不重合），E是射线FC上一动点，连接PE、ED，并一直保持∠EPF=∠FBP，设B、P两点的距离为x，△DEP的面积为y．
（1）求出tan∠PBF；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△DEP与△BCD相似时，求△DEP的面积．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）利用矩形的性质以及锐角三角函数关系进而得出tan∠CBD=

CD

BC

=

1

2

，即可得出tan∠PBF的值；
（2）首先得出△PEF∽△BEP，进而得出△PBF∽△HBE，即可求出y与x的函数关系；
（3）利用当△DEP与△BCD相似时，只有两种情况：∠DEP=∠C=90°或∠EDP=∠C=90°，进而得出答案．

解答：解：（1）如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，BC=AD=4，∠C=90°
∴tan∠CBD=

CD

BC

=

1

2

，
又∵∠PBF=∠CBD∠BPF=90°
∴tan∠PBF=

PF

BP

=tan∠CBD=

1

2

；

（2）∵∠EPF=∠FBP  即∠EPF=∠EBP
又∵∠PEF=∠BEP
∴△PEF∽△BEP
∴

PE

BE

=

EF

EP

=

PF

BP

=

1

2

∴EP=2EF，BE=2PE  即 BE=4EF，
如图1，作EH⊥BD于H，则∠FPB=∠EHB=90°
又∵∠PBF=∠HBE
∴△PBF∽△HBE
∴

HE

PF

=

BE

BF

=

4

3

，
设BP=x，则PF=

1

2

x
∴HE=

4

3

PF=

4

3

×

1

2

x=

2

3

x
又∵CD=2，BC=4∠C=90°由勾股定理得BD=2

5

，
∴y=

1

2

PD•EH=

1

2

(2

5

-x)•

2

3

x=-

1

3

x2+

2 5

3

x
（0＜x＜

8 5

5

）；

（3）∵∠DPE+∠EPF=90°∠BDC+∠CBD=90°
又∵∠EPF=∠CBD
∴∠DPE=∠BDC
当△DEP与△BCD相似时，
只有两种情况：∠DEP=∠C=90°或∠EDP=∠C=90°    
①当∠DEP=90°，如图1，
∴∠DPE+∠PDE=90°  即∠PDE=∠CBD
∴BE=DE
设CE=a，则BE=DE=4-a
在Rt△DEC中，勾股定理得  a²+2²=（4-a）²
解之a=

3

2

，
则DE=4-

3

2

=

5

2

，
又∵△BCD的面积S_△BCD=4
∴

S△DEP

S△BCD

=(

DE

BC

)2=

25

64

∴S△DEP=

25

16

，
②当∠EDP=90°，如图2，
∵∠EDP=∠C=90°，∠DBE=∠CBD，
∴△EDB∽△DCB，
∴

ED

DC

=

DB

CB

=

2 5

4

，
∴ED=

5

，
∴

S△DEP

S△BCD

=(

DE

BC

)2=

5

16

，
∴S△DEP=

5

4

．
（第3问解法二简述：①当∠DEP=90°时，

PE

PD

=

DC

BD

解得x=

3 5

4

∴y=

1

2

HE•PD=

1

2

•

2

3

•

3 5

4

(2

5

-

3 5

4

)=

25

16

，
②当∠EDP=90°时，

PD

PE

=

DC

BD

，
解得x=

3 5

2

，
∴y=

5

4

（其他证明方法和解法参考给分）．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论得出是解题关键．