Question

16．如图，AD是等腰直角三角形斜边上的高，点P、O在BC边上，点S，R分别在AB、AC边上，BC=10$\sqrt{2}$，若四边形PORS是正方形，则这个正方形的边长为$\frac{10\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 首先设正方形PORS的边长为x，AD与DR交于点E，由AD是等腰直角三角形斜边上的高，BC=10$\sqrt{2}$，可求得AD的长，易得△ASR∽△ABC，然后由相似三角形的性质，求得答案．

解答 解：设正方形PORS的边长为x，AD与DR交于点E，
则DR=x，
∵AD是等腰直角三角形斜边上的高，BC=10$\sqrt{2}$，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=5$\sqrt{2}$，AE⊥SR，
则四边形DESP是矩形，
∴ED=SP=x，
∴AE=AD-ED=5$\sqrt{2}$-x，
∵SR∥BC，
∴△ASR∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{SR}{BC}$，
∴$\frac{5\sqrt{2}-x}{5\sqrt{2}}$=$\frac{x}{10\sqrt{2}}$，
解得：x=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$．
∴这个正方形的边长为：$\frac{10\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{10\sqrt{2}}{3}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及等腰直角三角形性质．注意证得△ASR∽△ABC是关键．