Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上
（1）要使CB∥MD，可以添加条件∠1=∠M，或∠C=∠D，除此之外，请你添加一个条件

 

（注，不需要再添加任何线段或字符）使之能推出CB∥MD，并证明；
（2）若BC=4，cosM=

1

3

，求⊙O的直径．

Answer 1

考点：圆周角定理,垂径定理,解直角三角形

专题：

分析：（1）添加条件∠1=∠C，能推出CB∥MD．由∠C与∠M是

BD

所对的圆周角，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠C=∠M，又由∠1=∠C，易得∠1=∠M，即可判定CB∥MD；
（2）首先连接AC，AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，又由弦CD⊥AB，根据垂径定理求得

BC

=

BD

，继而可得∠A=∠M，又由BC=4，cosM=

1

3

，在Rt△ACB中利用勾股定理即可求得⊙O的直径．

解答：解：（1）添加条件∠1=∠C，能推出CB∥MD．理由如下：
∵∠C与∠M是

BD

所对的圆周角，
∴∠C=∠M，
又∵∠1=∠C，
∴∠1=∠M，
∴CB∥MD．
故答案为∠1=∠C；

（2）连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CD⊥AB，
∴

BC

=

BD

，
∴∠A=∠M，
∴cosA=cosM，
在Rt△ACB中，∵cosA=

AC

AB

，
∴cosM=cosA=

1

3

，
设AC=x，则AB=3x，
∵AC²+BC²=AB²，BC=4，
∴x²+4²=（3x）²，
解得，x=±

2

（负值舍去），
∴AB=3x=3

2

，
即⊙O的直径为3

2

．

点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、平行线的判定，勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意方程思想与数形结合思想的应用．