Question

14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设点P运动的时间为t秒．当t为何值时，△BCP为等腰三角形？

Answer 1

分析 先根据勾股定理求出AC的长，由于点P是动点，故应分点P在AC上与AB上两种情况进行讨论．

解答 解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
当点P在AC上时，CP=CB=3，t=1.5；                    
当点P在AB上时，分三种情况：
若BP=BC=3，则AP=2，t=3；                   
若CP=CB=3，作CM⊥AB，
∵∠B=∠B，∠BMC=∠BCA，
∴△ABC∽△CBM，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BC}{BM}$=$\frac{CM}{AC}$，即$\frac{5}{3}$=$\frac{3}{BM}$=$\frac{CM}{4}$，
∴CM=2.4，PM=BM=1.8
∴AP=1.4，t=2.7．                               
若PC=PB，则∠B=∠BCP，∠A=∠ACP，
∴AP=CP=BP=2.5，t=3.25．                 
综上所述，当t=1.5、3、2.7 或3.25 时，△BCP为等腰三角形．

点评 本题考查的是勾股定理的应用，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．