Question

1．如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B 两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，
（1）若l：y=-3x+3，E为AD的中点
①在CD上有一动点F，求当△DEF与△COD相似时点F的坐标；
②如图②，过E作x轴的垂线a，在直线a上是否存在一点Q，使∠CQO=∠CDO？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由
（2）如图③，若l：y=mx-4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=$\sqrt{10}$，直接写出l的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）①当△DEF∽△COD时，$\frac{EF}{OC}=\frac{DE}{DO}$，DF=DEcos∠CDO=$\frac{{3\sqrt{10}}}{5}$，据此求出EF的长度和点F的坐标即可；
②首先以CD为直径作圆，设其圆心为P，交直线a于点Q、Q′，连接PQ，P Q′，由圆周角定理，可得∠CQO=∠CQ′O=∠CDO，在Rt△CDO中，由勾股定理可得CD=$\sqrt{10}$，则PQ=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$；然后求出点P的坐标是多少；设Q（-1，a），则（$\frac{1}{2}$）²+（a-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{2}$，据此求出a的值是多少，进而求出Q点坐标是多少即可；
（2）首先连接OG、OH，判断出△OGH、△OMG均为等腰直角三角形；然后根据△OMG为等腰直角三角形，求出OG的长度，再用OG的长度乘以2，求出AB的长度；最后在直角三角形OAB中，根据OA²+OB²=AB²，求出m的值是多少，进而求出l的函数解析式即可．

解答 解：（1）①A（1，0），B（0，3），C（0，1），D（-3，0），，
如图1，当△DEF∽△COD时，$\frac{EF}{OC}=\frac{DE}{DO}$，
∴EF=$\frac{2}{3}$，
∴F（-1，$\frac{2}{3}$）；
当△DEF∽△COD时，DF=DEcos∠CDO=$\frac{{3\sqrt{10}}}{5}$，
作FK⊥OD于K，
则FK=DFsin∠CDO=$\frac{3}{5}$，DK=DFcos∠CDO=$\frac{9}{5}$，
∴F（-$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{5}$）；

②如图2，以CD为直径作圆，设其圆心为P，交直线a于点Q、Q′，连接PQ，P Q′，，
由圆周角定理，
可得∠CQO=∠CQ′O=∠CDO，
在Rt△CDO中，由勾股定理可得CD=$\sqrt{10}$，
则PQ=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
又∵P为CD中点，P（$-\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
设Q（-1，a），
则（$\frac{1}{2}$）²+（a-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{2}$，
解得a=2或-1，
∴Q（-1，2）或（-1，-1）．

（2）如图3，，
连接OG、OH，
∵点G为直角三角形OAB的AB边上的中点，
∴OG=$\frac{1}{2}$AB；
∵点H为直角三角形OCD的CD边上的中点，
∴OH=$\frac{1}{2}$CD；
∵AB=CD，OG=$\frac{1}{2}$AB，OH=$\frac{1}{2}$CD，
∴OG=OH，OG⊥OH，
∴△OGH为等腰直角三角形；
∵M为GH中点，
∴OM=OG，OM⊥OG，
∴△OMG为等腰直角三角形，
∴OG=$\sqrt{2}$OM=$\sqrt{2}×\sqrt{10}=2\sqrt{5}$，
∴AB=2OG=2$\sqrt{5}×2$=4$\sqrt{5}$；
∵l：y=mx-4m，
∴A（4，0），B（0，-4m）．
因为OA²+OB²=AB²，
所以4²+（-4m）²=（4$\sqrt{5}$）²，
解得m=-2或m=2，
根据图示，可得点B的纵坐标大于0，
∴m=-2，-4m=（-4）×（-2）=8，
∴l的函数解析式是：y=-2x+8．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力；
（2）此题还考查了相似三角形的性质，以及函数解析式的求法，要熟练掌握．