Question

16．如图，已知A，B两点的坐标分别为A（2$\sqrt{3}$，0），B（0，2），点P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°．

（1）如图1，求点P的坐标；
（2）如图2，点Q是$\widehat{AP}$上一点，（不与A，P重合），连PQ，AQ，BQ，求$\frac{BQ-AQ}{PQ}$的值；
（3）如图3，连BP，AP，在PB上任取一点，连AE，将线段AE绕A点顺时针旋转90°到AF，连BF，交AP于点G，当E在线段BP上运动时，（不与B，P重合），求$\frac{BE}{PG}$的值．

Answer 1

分析 （1）连接BP、AP，过P作x轴的垂线，设垂足为Q；由圆周角定理知AB是⊙O的直径，而∠AOP=45°，
得出OP平分∠AOB，则弧BP=弧AP，由此可证得△ABP是等腰Rt△；易求得直径AB的长，即可求出AP的值；在Rt△APQ中，易知PQ=OQ，可用OQ表示出BQ，由勾股定理即可求得OQ、PQ的长，即可得出P点的坐标．
（2）作PD⊥BQ于D，利用（2）中的结论得BD=DQ+AQ，则BQ-AQ=2DQ，所以$\frac{BQ-AQ}{PQ}$=$\frac{2DQ}{PQ}$，根据圆周角定理得∠PQB=∠PAB=45°，则可判断△PDQ为等腰直角三角形，则PQ=$\sqrt{2}$DQ，由此即可解决问题．
（3）先过F作FK⊥AP，再证明△AFK≌△EAP和△GFK≌△CBP，最后解出结果即可．

解答 解：（1）如图1中，连接AP、BP，过P作PQ⊥x轴于Q；

∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙O的直径，则∠APB=90°；
Rt△AOB中，OB=2，OA=2$\sqrt{3}$，由勾股定理，得AB=4；
∵∠AOP=45°，
∴OP平分∠AOB，
∴弧BP=弧AP；
则△ABP是等腰Rt△，AP=2$\sqrt{2}$；
Rt△POQ中，∠POQ=45°，则PQ=OQ；
设PQ=OQ=x，则AQ=2$\sqrt{3}$-x；
Rt△APQ中，由勾股定理得：
AP²=AQ²+PQ²，即（2$\sqrt{3}$-x）²+x²=8，
解得x=$\sqrt{3}$+1，x=$\sqrt{3}$-1（舍去），
∵∠POA=45°，∠PQO=90°，
∴PQ=OQ=x=$\sqrt{3}$+1；
即P点坐标为（$\sqrt{3}$+l，$\sqrt{3}$+1）；

（2）解：如图2中，作PD⊥BQ于D，作PE⊥AQ，交AQ的延长线于E

∵AB为直径，
∴∠AB=90°，
∵PD⊥BQ，
∴四边形PDQE为矩形，
在△PBD和△PAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDB=∠PEA}\\{∠PBD=∠PAE}\\{PB=PA}\end{array}\right.$，
∴△PBD≌△PAE（AAS），
∴PD=PE，BD=AE，
∴四边形PDQE为正方形，
∴QD=QE，
∴BD=AE=QE+AQ=QD+AQ；
∴BQ-AQ=BD+DQ-AQ=DQ+AQ+DQ-AQ=2DQ，
∴$\frac{BQ-AQ}{PQ}$=$\frac{2DQ}{PQ}$，
∵∠PQB=∠PAB=45°，
∴△PDQ为等腰直角三角形，
∴PQ=$\sqrt{2}$DQ，
∴$\frac{BQ-AQ}{PQ}$=$\frac{2DQ}{PQ}$=$\frac{2DQ}{\sqrt{2}DQ}$=$\sqrt{2}$．

（3）如图3中，过F作FK⊥AP，则△AFK≌△EAP，

∴AK=PE，FK=AP=BP，
∴AP-AK=BP-PE，
∴PK=BE，
在△GFK和△GBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FGK=∠PGB}\\{∠FKG=∠BPG}\\{KF=PB}\end{array}\right.$，
∴△GFK≌△GBP，
∴PG=GK，
∴PG=$\frac{1}{2}$PK=$\frac{1}{2}$BE，
∴$\frac{BE}{PG}$=2；

点评 本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合应用能力；能够构建出与已知和所求相关的直角三角形是解答此题的关键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考压轴题．