Question

如图，在△ABC中，AC=BC=5，∠C=90°，在平面内，△ABC绕点A逆时针旋转α，对应得△AB′C′，以B′C′为直径的圆第一次与直线AB相切时，sinα=

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,旋转的性质

专题：综合题

分析：设圆心为O，切点为D，连接OD，OA，可得OD⊥AB，再根据∠C′=∠ODA=90°，得到AC′与圆O相切，利用HL得到三角形AOC′与三角形AOD全等，利用全等三角形对应边相等得到∠OAC′=∠OAD=

1

2

∠C′AB=

1

2

（α+45°），AC′=AD，利用锐角三角函数定义求出sin∠OAD与cos∠OAD的值，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin（α+45°）与cos（α+45°）的值，根据sinα=sin[（α+45°）-45°]，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：设圆心为O，切点为D，连接OD，OA，可得OD⊥AB，
在Rt△AOC′和Rt△AOD中，

AO=AO OC′=OD

，
∴Rt△AOC′≌Rt△AOD（HL），
∴∠OAC′=∠OAD=

1

2

∠C′AB=

1

2

（α+45°），AC′=AD，
在Rt△AOD中，OD=2.5，AD=AC′=5，
根据勾股定理得：OA=

AD2+OD2

=

5 5

2

，
∴sin∠OAD=

OD

OA

=

5

5

，cos∠OAD=

AD

OA

=

2 5

5

，
∴sin（α+45°）=sin∠C′AB=sin2∠OAD=2sin∠OADcos∠OAD=

4

5

，cos（α+45°）=cos∠C′AB=cos2∠OAD=cos²∠OAD-sin²∠OAD=

3

5

，
∴sinα=sin[（α+45°）-45°]=sin（α+45°）cos45°-cos（α+45°）sin45°=

2

2

×（

4

5

-

3

5

）=

2

10

．
故答案为：

2

10

点评：此题考查了切线的性质，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．