Question

4．如图，AB是⊙O的直径，AD，DC，BC是切线，点A，E，B为切点
（1）求证：OD⊥OC；
（2）若BC=9，AD=4，求OB的长．

Answer 1

分析 （1）由切线长定理得到∠OAD=∠OED-90°，DA=DE；通过△OAD≌△OED（HL），得到∠AOD=∠EOD，同理可证：∠BOC=∠EOC，于是得到结论；
（2）根据切线的性质得到AD=ED，BC=CE；OE⊥CD；由射影定理得：OE²=ED•EC，于是得到OE=6，根据同圆的半径相等即可得到结论．

解答 解：（1）∵DA、DE分别是⊙O的切线，
∴∠OAD=∠OED-90°，DA=DE；
在△OAD与△OED中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OD=OD}\\{DA=DE}\end{array}\right.$，
∴△OAD≌△OED（HL），
∴∠AOD=∠EOD，
同理可证：∠BOC=∠EOC，
∴∠DOC=∠AOD+∠BOC=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
即OC⊥OD．

（2）∵AD、DC、BC均为⊙O的切线，
∴AD=ED，BC=CE；OE⊥CD；
由射影定理得：OE²=ED•EC，
∴OE²=AD•BC=36，
∴OE=6，
∴OB=OE=6．

点评 本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，射影定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．