Question

6．如图，已知等边三角形ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D，点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
（Ⅰ）求证：EF是⊙O的切线；
（Ⅱ）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若等边△ABC的边长为8，求FH的长．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出AB=AC=BC，∠A=∠B=∠C=60°，证出△OCE是等边三角形，得出∠OEC=60°，CE=OC，再求出∠AEF=30°，即可得出∠OEF=90°，即可得出结论；
（2）由（1）得出CE=OC=$\frac{1}{2}$BC=4，得出AE、AF，由三角函数求出BF即可．

解答 （1）证明：连接OE，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠A=∠B=∠C=60°，
∵OC=OE，
∴△OCE是等边三角形，
∴∠OEC=60°，CE=OC，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=90°，
∴∠AEF=30°，
∴∠OEF=180°-60°-30°=90°，
即EF⊥OE，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：由（1）得：CE=OC=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴AE=8-4=4，
∴AF=$\frac{1}{2}$AE=2，
∴BF=8-2=6，
∴FH=BF•sin∠B=6×sin60°=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角函数；本题综合性强，有一定难度．