Question

在矩形ABCD中，AD=12，AB=8，点F是AD边上一点，过点F作∠AFE=∠DFC，交射线AB于点E，交射线CB于点G．
（1）若FG=8

2

，则∠CFG=

 

°；
（2）当以F，G，C为顶点的三角形是等边三角形时，画出图形并求GB的长；
（3）过点E作EH∥CF交射线CB于点H，请探究：当GB为何值时，以F，H，E，C为顶点的四边形是平行四边形．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）由矩形的性质得AD∥BC，∠D=90°，所以∠AFE=∠FGB，∠DFC=∠FCG，进而求得∠FGC=∠FCG，得到FC的长，再利用三角函数求得∠DFC=45°，即可得
∠CFG=90°；
（2）先画出图形，由矩形与等边三角形的性质得到∠DFC=60°，利用三角函数求得FC的长，即为GC的长，再求BG即可；
（3）过点F作FK⊥BC于点K，有矩形的性质推出∠KCF=∠KGF，FG=FC，所以GK=CK．因为四边形FHEC是平行四边形，所以FG=EG．可得△FGK≌△EGB．所以BG=GK=KC=

12

3

=4．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°．
∴∠AFE=∠FGB，∠DFC=∠FCG，
∵∠AFE=∠DFC，
∴∠FGC=∠FCG；
∴FC=FG=8

2

∴在Rt△FCD中，
sin∠DFC=

DC

FC

=

8

8 2

=

2

2

，
∴∠DFC=45°，
∴∠CFG=180°-∠AFE-∠DFC=180°-45°-45°=90°； 
故答案为：90°；
                 
（2）图形如下：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°．
∵△FGC是等边三角形，
∴∠GFC=60°．
∵∠DFC=∠AFE，
∴∠DFC=60°．
∵DC=8，
∴FC=

DC

sin60°

=

16 3

3

．
∵△FGC是等边三角形，
∴GC=FC=

16 3

3

．
∵BC=AD=12，
∴GB=12-

16 3

3

；
（3）过点F作FK⊥BC于点K

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC．
∴∠DFC=∠KCF，∠AFG=∠KGF．
∵∠DFC=∠AFG，
∴∠KCF=∠KGF．
∴FG=FC．
∴GK=CK．
∵四边形FHEC是平行四边形，
∴FG=EG．
∴在△FGK和△EGB中

∠FGK=∠EGB ∠FKG=∠EBG FG=EG

∴△FGK≌△EGB
∴BG=GK=KC=

12

3

=4．

点评：本题主要考查了矩形与平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰与等边三角形的性质、锐角的三角函数值等，综合性较强．有一定难度．