Question

5．如图1，四边形ABCD中，AC=BD，∠1=∠2．求证：AB=CD．
小明经过思考，准备用平移的方法来解决这个问题，他过A作BD的平行线，过D作AB的平行线，二者交于点E，连接CE，如图2所示．
（1）请你使用小明的方法解决这个问题；
（2）请你借鉴小明的思路解决下面的问题：
如图3，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，P为AD上一点，连接BP并延长交AC于E，连接CP并延长交AB于F，若BE=CF，求证：AB=AC．

Answer 1

分析 （1）如图2，先证明四边形ABDE是平行四边形，得对角相等，对边相等：∠AED=∠1，AE=BD，AB=ED，根据等量代换得：∠2=∠AED，由AC=AE，得∠ACE=∠AEC，利用等式的性质可知：∠DCE=∠DEC，所以AB=CD；
（2）如图3，作辅助线，构建平行四边形，证明四边形EFGB和BHCE是平行四边形，∠FCB=∠EBC=∠BCH，CH=BE=CF，再证明△BHC≌△BFC，得∠BFC=∠H=∠BEC，根据等式性质得：∠ABE+∠EBC=∠ACF+∠FCB，所以∠ABC=∠ACB，由等角对等边得：AB=AC．

解答 解：（1）如图2，过A作BD的平行线，过D作AB的平行线，二者交于点E，连接CE，
∵AB∥DE，AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴∠AED=∠1，AE=BD，AB=ED，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠AED．
∵AC=BD，AE=BD，
∴AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∴∠2+∠DCE=∠AED+∠DEC，
∴∠DCE=∠DEC，
∴DE=DC，
∵AB=DE，
∴AB=CD；

（2）过F作GF，使GF∥BE，且GF=BE，连接EF，
则四边形EFGB是平行四边形，
∴∠G=∠FEB=∠EBC，且GF=BE=FC，
∴∠FCB=∠EBC，
∴∠G=∠FEB=∠EBC=∠FCB，
过C、B分别作CH∥BE，BH∥EC，则四边形BHCE是平行四边形，
∴∠FCB=∠EBC=∠BCH，CH=BE=CF，
∵BC=BC，
∴△BHC≌△BFC，
∴∠BFC=∠H，
∴∠BFC=∠H=∠BEC，
∵∠EPB=∠EPC，
∴∠ABE=∠ACF，
∴∠ABE+∠EBC=∠ACF+∠FCB，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定、平行四边形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，本题利用平移的方法解决问题，就是作平行线的方法，构建平行四边形，利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等解决问题，第二问有难度，作辅助线是关键．