Question

（2009•北仑区模拟）如图，ABCD为正五边形，点P为CD中点，连接BD，分别与AC、AP相交于点M、N，则

MN

BM

=

5 -1

2

．

Answer 1

分析：利用正五边形的内角度数以及相似三角形的性质即可得出，MN，BM的长度，即可得出比值．

解答：解：∵ABCD为正五边形，点P为CD中点，
∴∠BCA=∠BAC=36°，∠BAE=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠E=108°，
AP是CD的垂直平分线，
∴CN=ND，
∴∠NDC=∠NCD=36°，
∴∠BCN=∠BNC=72°，
∴∠CBN=36°，
∵∠NCM=108°-∠BCA-∠NCD=36°，
∠CNM=∠NCD+∠NDC=72°，
∴∠CMN=72°，
∴∠NCM=∠CBN，∠BCN=∠CNM，
∴△CNM∽△BCN，

MN

CN

=

CN

BN

，
设BC=1，CN=BM=CM=x，则MN=1-x，
∴

1-x

x

=

x

1

，
∴x²+x-1=0，
解得：x=

-1+ 5

2

，
∴MN=1-

-1+ 5

2

=

3- 5

2

，
∴则

MN

BM

=

3- 5 2

-1+ 5 2

=

5 -1

2

，
故答案为：

5 -1

2

．

点评：此题主要考查了正多边形的性质以及相似三角形的性质，利用正五边形性质得出△CNM∽△BCN进而求出MN，BM的长是解题关键．