Question

已知正三角形的内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：R=

1：2

．

Answer 1

分析：作出辅助线OD、OE，证明△AOD为直角三角形且∠OAD为30°，即可求出OD、OA的比．

解答：解：如图，连接OD、OE；
因为AB、AC切圆O与E、D，
所以OE⊥AB，OD⊥AC，
在Rt△AEO和Rt△ADO中，

AO=AO EO=DO

，
∴△AEO≌△ADO（HL），
故∠DAO=∠EAO；
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠OAC=60°×

1

2

=30°，
∴OD：AO=1：2．
等边三角形的内切圆半径与外接圆半径的比是1：2．
故答案为：1：2．

点评：此题主要考查了等边三角形内心与外心的知识，找到直角三角形，将三角形内切圆和三角形外接圆联系起来是解题的关键．