Question

10．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE；过点E作EG⊥AD交AC于点G．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）求证：2AF²=AC•AG；
（3）若AE=a，在△ABF中，AB＞BF，△ABF的面积为b，且b=$\frac{6{a}^{2}}{25}$，求tan∠OEG．

Answer 1

分析 （1）当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，由OA=OC，得∠AOE=∠COF=90°，由题意得AD∥BC，∠EAO=∠FCO，可证明△AOE≌△COF，从而得出∴四边形AFCE是菱形．
（2）由EG⊥AD，得∠AEG=90°，可证明△AOE∽△AEG，写出比例式$\frac{AE}{AG}$=$\frac{AO}{AE}$，即可得出AE²=AO•AG，即2AF²=AC•AG；
（3）根据四边形AFCE是菱形，得出AF=AE=8，在Rt△ABF中，利用勾股定理得AB²+BF²=AF²，AB²+BF²=8²，即可得出（AB+BF）²-2AB•BF=a²①，根据△ABF的面积为b，可求得AB•BF=2b②，再由①、②得：（AB+BF）²=a²+4b，得出AB+BF=$\frac{7}{5}$a，设DE=x，则CD=（$\frac{7}{5}$a-x），根据三角形面积公式可得DE，再根据余角的性质和正切的定义即可求解．

解答 （1）证明：当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE与△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\\{∠EAO=∠FCO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是菱形．  

（2）证明：∵EG⊥AD
∴∠AEG=90°，
∵∠AOE=90°，
∴∠AEG=∠AOE，
∵∠EAO=∠EAG，
∴△AOE∽△AEG，
∴$\frac{AE}{AG}$=$\frac{AO}{AE}$，
∴AE²=AO•AG，即2AF²=AC•AG；

（3）解：∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=AE=a，
在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，
∴AB²+BF²=a²，
∴（AB+BF）²-2AB•BF=a²①，
∵△ABF的面积为b，
∴$\frac{1}{2}$AB•BF=b，
∴AB•BF=2b②，
由①、②得：（AB+BF）²=a²+4b，
∵AB+BF＞0，
∴AB+BF=$\sqrt{{a}^{2}+4b}$=$\frac{7}{5}$a，
设DE=x，则CD=（$\frac{7}{5}$a-x），则
$\frac{1}{2}$x（$\frac{7}{5}$a-x）=b=$\frac{6{a}^{2}}{25}$，
解得x₁=$\frac{3}{5}$a，x₂=$\frac{4}{5}$a（舍去），
∴CD=$\frac{4}{5}$a，
∵∠EAG+∠EGA=∠OEG+∠EGA=90°，
∴∠EAG=∠OEG，
∴tan∠OEG=tan∠EAG=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{\frac{4}{5}a}{a+\frac{3}{5}a}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了相似形综合题，涉及菱形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质以及相似三角形的判定和性质的知识点，综合性极强，难度较大．