Question

9．如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD-DO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
（1）求点N落在BD上时t的值；
（2）求出点O在正方形PQMN的任一边上时t的值；
（3）当点P在折线AD-DO上运动时，求S与t之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）可证△DPN∽△DQB，从而有 $\frac{DP}{DQ}$=$\frac{PN}{QB}$，即可求出t的值．
（2）只需考虑两个临界位置（①MN经过点O，②点P与点O重合）下t的值，即可解决问题．
（3）根据正方形PQMN与△ABD重叠部分图形形状不同分成三类，如图4、图5，图6，然后运用三角形相似、锐角三角函数等知识就可求出S与t之间的函数关系式．

解答 解：（1）当点N落在BD上时，如图1．
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN∥QM，PN=PQ=t．
∴△DPN∽△DQB．
∴$\frac{DP}{DQ}$=$\frac{PN}{QB}$，
∵PN=PQ=PA=t，DP=3-t，QB=AB=4，
∴$\frac{3-t}{3}$=$\frac{t}{4}$，
∴t=$\frac{12}{7}$．
∴当t=$\frac{12}{7}$s时，点N落在BD上．

（2）①如图2，
则有QM=QP=t，MB=4-t．
∵四边形PQMN是正方形，
∴MN∥DQ．
∵点O是DB的中点，
∴QM=BM．
∴t=4-t．
∴t=2．
②如图3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°．
∵AB=4，AD=3，
∴DB=5．
∵点O是DB的中点，
∴DO=$\frac{5}{2}$，
∴1×t=AD+DO=3+$\frac{5}{2}$．
∴t=$\frac{11}{2}$．
∴当t=4s或11s时，正方形PQMN的边经过点O．

（3）①当0＜t≤$\frac{12}{7}$时，如图4．
S=S_{正方形PQMN}=PQ²=PA²=t²．
②当 $\frac{12}{7}$＜t≤3时，如图5，
∵tan∠ADB=$\frac{PG}{DP}$=$\frac{AB}{AD}$，
∴$\frac{PG}{3-t}$=$\frac{4}{3}$，
∴PG=4-$\frac{4}{3}$t．
∴GN=PN-PG=t-（4-$\frac{4}{3}$t）=$\frac{7}{3}$t-4，
∵tan∠NFG=tan∠ADB=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{GN}{NF}$=$\frac{4}{3}$，
∴NF=$\frac{3}{4}$GN=$\frac{3}{4}$（ $\frac{7}{3}$t-4）=$\frac{7}{4}$t-3．
∴S=S_{正方形PQMN}-S_△GNF
=t²-$\frac{1}{2}$×（ $\frac{7}{3}$t-4）×（ $\frac{7}{4}$t-3）=-$\frac{24}{25}$t²+7t-6．
综上所述：当0＜t≤$\frac{12}{7}$时，S=t²．
当 $\frac{12}{7}$＜t≤3时，S=-$\frac{24}{25}$t²+7t-6．
③当3＜t≤$\frac{11}{2}$时，如图6，
∵四边形PQMN是正方形，四边形ABCD是矩形．
∴∠PQM=∠DAB=90°．
∴PQ∥AD．
∴△BQP∽△BAD．
∴$\frac{BP}{BD}$=$\frac{BQ}{BA}$=$\frac{PQ}{AD}$，
∵BP=8-t，BD=5，BA=4，AD=3，
∴$\frac{8-t}{5}$=$\frac{BQ}{4}$=$\frac{PQ}{3}$，
∴BQ=$\frac{4（8-t）}{5}$，PQ=$\frac{3（8-t）}{5}$，
∴QM=PQ=$\frac{3（8-t）}{5}$，
∴BM=BQ-QM=$\frac{8-t}{5}$，
∵tan∠ABD=$\frac{FM}{BM}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
∴FM=$\frac{3}{4}$BM=$\frac{3（8-t）}{20}$，
∴S=S_梯形PQMF=$\frac{1}{2}$（PQ+FM）•QM
=$\frac{1}{2}$[$\frac{3（8-t）}{5}$+$\frac{3（8-t）}{20}$]•$\frac{3（8-t）}{5}$=$\frac{9}{40}$（8-t）²
=$\frac{9}{40}$t²-$\frac{18}{5}$t+$\frac{72}{5}$．

点评 本题考查了矩形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，考查了用割补法求五边形的面积，考查了用临界值法求t的取值范围，考查了分类讨论的数学思想，综合性较强．