Question

在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点D坐标为（4，4），点P坐标为（3，3），将三角板的直角顶点与P重合，一条直角边与x轴交于点E，另一条直角边与y轴交于点F，将三角板绕点P旋转．
（1）当△POE为等腰三角形时，求点F的坐标；
（2）设E（t，0），PF、PE与正方形ABCD所夹面积（阴影面积）为S，直接写出S关于t的函数关系式及自变量t的取值范围．

Answer 1

考点：旋转的性质,坐标与图形性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）根据旋转的性质“旋转不改变图形的大小和形状”以及等腰三角形的性质解答．
（2）四边形PECD的面积为S=S_{正方形OMPN}．

解答：解：（1）△POE是等腰三角形的条件是：OP、PE、EO其中两段相等，P（3，3），那么有：
①PE⊥OC和F点过（0，0）点，PE=OE，
则F点是（0，3）和（0，0）；
∵P坐标为（3，3），
∴OP=3

2

，
②PE⊥OP和F点过（0，6-3

2

），
则PE=OP，
则F点是（0，6+3

2

）和（0，6-3

2

）．
综上所述，符合条件的点F的坐标是：（0，3）或（0，0）或（0，6-3

2

）或（0，6+3

2

）；

（2）过点P作PM⊥BC，垂足为M，PN⊥OA于点N，
则△PFN≌△PEM．
∴PN=PM，
∴四边形OMPN是正方形，
∵E（t，0），
∴OE=t．
∵点D坐标为（4，4），点P坐标为（3，3），
∴PM=3，OM=3，
∴四边形PECD的面积为S=PN²=9．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理和等边直角三角形的性质．