Question

（2013•高要市一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA₁B₁C的对角线A₁C和OB₁交于点M₁；以M₁A₁为对角线作第二个正方形A₂A₁B₂M，对角线A₁M₁和A₂B₂交于点M₂；以M₂A₁为对角线作第三个正方形A₃A₁B₃M₂，对角线A₁M₂和A₃B₃交于点M₃；…，依此类推，这样作的第6个正方形对角线交点的横坐标为

63

64

．

Answer 1

分析：根据正方形性质求出CM₁=A₁M₁，∠COA₁=∠M₁A₂A₁=90°，推出M₁A₂∥OC，得出OA₂=A₂A₁，根据三角形中位线求出M₁A₂=

1

2

OC=

1

2

×1=1，OA₂=A₂A₁=

1

2

OA₁=

1

2

×1=

1

2

，即可求出M₁的坐标，同理求出M₂A₃=

1

2

M₁A₂=

1

4

，A₂A₃=A₃A₁=

1

2

A₂A₁=

1

4

，OA₃=

1

2

+

1

4

=

3

4

，得出M₂的坐标，根据以上规律求出即可．

解答：解：∵四边形OCB₁A₁和四边形A₂A₁B₂M₁是正方形，
∴CM₁=A₁M₁，∠COA₁=∠M₁A₂A₁=90°，
∴M₁A₂∥OC，
∴OA₂=A₂A₁，
∴M₁A₂=

1

2

OC=

1

2

×1=1，OA₂=A₂A₁=

1

2

OA₁=

1

2

×1=

1

2

，
即M₁的坐标是（

1

2

，

1

2

），
同理M₂A₃=

1

2

M₁A₂=

1

2

×

1

2

=

1

4

，A₂A₃=A₃A₁=

1

2

A₂A₁=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
∴OA₃=

1

2

+

1

4

=

3

4

即M₂的坐标是（

3

4

，

1

4

），
同理M₃的坐标是（

7

8

，

1

8

），M₄坐标是（

15

16

，

1

16

），M₅的坐标是（

31

32

，

1

32

），M₆的坐标是（

63

64

，

1

64

），
故答案为：

63

64

．

点评：本题考查了正方形性质，三角形的中位线的应用，关键是能根据求出的结果得出规律，横坐标是

2n-1

2n

，纵坐标是（

1

2

）ⁿ．