Question

9．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E，在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
（1）求证：AE=AF．
（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME，判断△DEM的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，从而得到∠B=∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等即可得出结论；
（2）过点E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，得出∠DEM=90°即可；

解答 （1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠ACF=90°-45°=45°，
∴∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，FA⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE=90°，
∠CAF+∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CAF}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\\{∠B=∠ACF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF；
（2）解：△DEM是直角三角形；理由如下：
过点E作EH⊥AB于H，如图所示：
则△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=HE，
∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴∠DEM=90°，
∴△DEM是直角三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质；熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．