Question

6．如图，△ABC中，∠A=45°，D是AC边上一点，⊙O过D、A、B三点，OD∥BC．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）OD，AB相交于点E，若AB=AC，OD=r，写出求AE长的思路．

Answer 1

分析 （1）连接OB，求出∠DOB度数，根据平行线性质求出∠CBO=90°，根据切线判定得出即可；
（2）延长BO交⊙O于点F，连接AF，求出∠ABF，解直角三角形求出BE，求出AB，即可得出答案．

解答 （1）证明：连接OB．
∵∠A=45°，
∴∠DOB=90°．
∵OD∥BC，
∴∠DOB+∠CBO=180°．
∴∠CBO=90°．
∴直线BC是⊙O的切线．

（2）求解思路如下：

如图，延长BO交⊙O于点F，连接AF．
①由AB=AC，∠BAC=45°，可得∠ABC=67.5°，∠ABF=90°-67.5°=22.5°；
②在Rt△EOB中，由OB=r，可求BE的长度（BE=$\frac{r}{cos22.5°}$）；
③由BF是直径，可得∠FAB=90°，在Rt△FAB中，由BF=2r，
可求AB的长（AB=2r×cos22.5°），进而可求AE的长．

点评 本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．