Question

11．在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x²+bx-3的图象与x轴的负半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，且S_△OAC=$\frac{3}{2}$．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）如果点P为抛物线的顶点，求以A、B、C、P为顶点的四边形的面积．

Answer 1

分析 （1）先确定C（0，-3），再利用三角形面积公式可计算出OA=1，则A（-1，0），然后把A点坐标代入y=x²+bx-3中求出b=-2，从而可得到抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
（2）抛物线的对称轴交x轴于D点，如图，利用抛物线与x轴的交点问题求出B（3，0），再把解析式配成顶点式得到P（1，-4），然后根据三角形面积公式，利用S_{四边形ACPB}=S_△OAC+S_梯形OCPD+S_△PBD进行计算即可．

解答 解：（1）当x=0时，y=x²+bx-3=-3，则C（0，-3），
∵S_△OAC=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•3•OA=$\frac{3}{2}$，解得OA=1，
∴A（-1，0），
把A（-1，0）代入y=x²+bx-3得1-b-3=0，解得b=-2，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
（2）抛物线的对称轴交x轴于D点，如图，
当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则B（3，0），
y=x²-2x-3=（x-1）²-4，则P（1，-4），
S_{四边形ACPB}=S_△OAC+S_梯形OCPD+S_△PBD=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$•（3+4）•1+$\frac{1}{2}$•2•4=9．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．也考查了待定系数法求抛物线解析式和三角形面积公式．