Question

14．（1）如图1，OC平分∠AOB，点D是射线OA边上一点，点P、Q分别在射线OC、OB上运动，已知OD=8，∠AOC=30°，则DP+PQ的最小值是4$\sqrt{3}$；
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，AD=AB=4，∠DAB=60°，点E是AB边上的动点，点F是对角线AC上的动点，求EF+BF的最小值；
（3）如图3，在Rt△ABC中，AB=2a，BC=a，点M是AC上一动点，点N是斜边AB上一动点，请直接写出MN+CN的最小值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作DQ′⊥OB于Q′交OC于P′，由图象可知，欲求DP+PQ的最小值，根据垂线段最短，可知当Q与Q′重合时，P与P′重合时，PD+PQ最小，最小值为DQ′．
（2）首先证明四边形ABCD是菱形，推出B、D关于直线AC对称，推出FD=FB，所以BF+EF=DF+EF，作DE′⊥AB于E′交AC于F′，根据垂线段最短，可知当点E与E′重合，F与F′重合时，DF+EF最小，最小值为DE′．
（3）如图3中，设射线AC′与射线AC关于直线AB对称，作CM″⊥AC′于M″交AB于N′．作M关于直线AB的对称点M′连接NM′，因为CN+MN=CN+NM′，根据垂线段最短，可知当M′与M″重合时，N与N′重合时，CN+NM最小，最小值为CM″．

解答 解：（1）如图1中，作DQ′⊥OB于Q′交OC于P′，

由图象可知，欲求DP+PQ的最小值，根据垂线段最短，可知当Q与Q′重合时，P与P′重合时，PD+PQ最小，最小值为DQ′，
在Rt△ODQ′中，∵∠OQ′D=90°，∠DOQ′=2∠AOC=60°，OD=8，
∴DQ′=OD•sin60°=4$\sqrt{3}$，
故答案为4$\sqrt{3}$．

（2）如图2中，

∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AD=AB=4，
∴四边形ABCD是菱形，
∴B、D关于直线AC对称，
∴FD=FB，
∴BF+EF=DF+EF，作DE′⊥AB于E′交AC于F′，
根据垂线段最短，可知当点E与E′重合，F与F′重合时，DF+EF最小，最小值为DE′，
在Rt△ADE′中，∵∠AE′D=90°，AD=4，∠DAE′=60°，
∴DE′=AD•sin60°=2$\sqrt{3}$．
∴BF+EF的最小值为2$\sqrt{3}$．

（3）如图3中，设射线AC′与射线AC关于直线AB对称，作CM″⊥AC′于M″交AB于N′．

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=2a，BC=a，
∴sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
∴∠BAC=30°，
∴∠CAC′=60°，作M关于直线AB的对称点M′连接NM′，
∵CN+MN=CN+NM′，
根据垂线段最短，可知当M′与M″重合时，N与N′重合时，CN+NM最小，最小值为CM″，
在Rt△ACM″中，CM″=AC•sin60°=$\frac{3}{2}$a．

点评 本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称把问题转化为垂线段最短，属于中考常考题型．