Question

已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=180°.
（1）利用图1，求证：PA=PB；
（2）如图2，若点是与的交点，当时，求PB与PC的比值；
（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点，且满足且，请借助图3补全图形，并求的长.
（1）（2）
（3）

Answer 1

解：（1）在OB上截取OD=OA，连接PD，

∵OP平分∠MON，
∴∠MOP=∠NOP．
又∵OA=OD，OP=OP，
∴△AOP≌△DOP．　　　……………1分
∴PA=PD，∠1=∠2．
∵∠APB+∠MON=180°，
∴∠1+∠3=180°．
∵∠2+∠4=180°，
∴∠3=∠4．
∴PD=PB．
∴PA=PB．　　　…………… 2分
（2）

∵PA=PB，
∴∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠APB=180°，且∠3+∠4+∠APB=180°，
∴∠1+∠2=∠3+∠4．
∴∠2=∠4．
∵∠5=∠5，
∴△PBC∽△POB． 　
∴．　…………… 5分
（3）作BE⊥OP交OP于E，

∵∠AOB=60⁰，且OP平分∠MON，
∴∠1=∠2=30°．
∵∠AOB+∠APB=180°，
∴∠APB=120°．
∵PA=PB，
∴∠5=∠6=30°．
∵∠3+∠4=∠7，
∴∠3+∠4=∠7=(180°30°)÷2=75°．
∵在Rt△OBE中，∠3=60⁰，OB=2
∴∠4=15⁰，OE=，BE=1
∴∠4+∠5=45⁰，
∴在Rt△BPE中，EP=BE=1
∴OP=   　…………… 8分解析:
略