Question

19．如图，已知△ABC为等边三角形，点D在边AC上，点E在边AB上，且AD=BE，点F为线段DE的中点，求证：EC=2AF．

Answer 1

分析 先过点E作EG∥AC交BC于G，连接FG，则∠ADF=∠GEF，根据已知条件判定△ADF≌△GEF（SAS），得出AF=FG，∠AFD=∠GFE，进而得到点A，F，G在一条直线上，且AG=2AF，再根据SAS判定△ABG≌△CBE，即可得到AG=CE，进而得出CE=2AF．

解答 证明：如图，过点E作EG∥AC交BC于G，连接FG，则∠ADF=∠GEF，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠BEG=∠BGE=60°，AB=CB，
∴△BEG是等边三角形，
∴BE=BG=EG，
又∵AD=BE，
∴BE=BG=EG=AD，
∵点F为线段DE的中点，
∴DF=EF，
在△ADF和△GEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=EF}\\{∠ADF=∠GEF}\\{AD=GE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GEF（SAS），
∴AF=FG，∠AFD=∠GFE，
∴点A，F，G在一条直线上，且AG=2AF，
在△ABG和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠B=∠B}\\{BG=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG=CE，
∴CE=2AF．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及全等三角形，依据等边三角形的对应边相等进行推导．