Question

如图有一直角∠A。
（1）用尺规作图作出∠A的角平分线，并在该角平分线上取一点C。（保留作图痕迹，不写作法，不证明。）
（2）用尺规作图作出（1）中得到的线段AC的中垂线、分别交∠A的两边于点B和点D。（保留作图痕迹，不写作法，不证明。）
（3）连结CB，CD。以AC平分∠BAD、BD垂直平分线段AC，以及Rt∠A作为已知条件，试判断四边形ABCD是否为正方形，并证明你的结论。

Answer 1

（1）图略； （2）图略； （3）四边形ABCD是正方形； 证明如下：如图，      ∵BD垂直平分线段AC      ∴AD=CD，AB=CB 且BD⊥AC      ∴∠AOB=∠AOD=90。   又∵AC平分∠BAD      ∴∠BAO=∠DAO    又∵AO是公共边     ∴△AOB≌△AOD     ∴AD=AB     ∴AD=CD=AB=CB     ∴四边形ABCD是菱形。   又∵Rt∠A     ∴四边形ABCD是正方形。